碳化硅模块的开关能力标到 700 kHz，中频变压器的设计手册却把最优点放在几十千赫兹。一台 20 kW、20 kW/L 的样机，总损耗最低的频率是 86 kHz，只有器件上限的八分之一。把频率往上推，磁芯损耗和绕组损耗一涨一落几乎互相抵掉，冷却面积却跟着体积一路缩，温升按频率线性往上爬。

两个频率上限差着八倍

中频变压器的设计里有两个频率，很容易被混成一个。一个是磁芯材料允许的上限，苏黎世联邦理工学院那篇缩放定律论文给的取值是 700 kHz；另一个是整个变压器损耗最低的工作点，同一篇论文在 20 kW、20 kW/L、600 V 的参考设计上算出来是 86 kHz。

两者相差 8.1 倍。器件侧的能力早就越过了磁件侧的最优点，这个落差不是工艺问题，是损耗结构决定的。

参考设计的其余参数一并列出，后面的账都要用到：磁通密度峰值 84 mT，磁芯饱和点 300 mT，绕组电流密度 2.9 A/mm²，允许上限 8.0 A/mm²，交流直流电阻比 1.71，磁芯与绕组损耗比 0.81，温升 41 K，物理效率 99.72%，磁芯材料用 TDK N97，利兹线单丝直径 100 微米，窗口填充率 25%。

两项损耗朝相反方向走

磁芯损耗按 Steinmetz 关系随频率和磁通密度涨，这篇论文拟合出的指数是频率项 1.44、磁通项 2.46。看上去频率一提，磁芯损耗就该跟着涨。

实际不会。频率提上去，变压器按面积积法则缩小，磁芯体积跟着降。面积积的写法是

Ap = P / (K × f × B × J × kw)

功率、磁通密度、电流密度、填充率都固定时，Ap 与频率成反比。几何比例不变，体积按 Ap 的 1.5 次方走，也就是与频率的 1.5 次方成反比。

磁芯损耗等于损耗密度乘体积，密度按 f 的 1.44 次方涨，体积按 f 的 1.5 次方降，两项相乘剩下 f 的负 0.06 次方。频率从 86 kHz 提到 210 kHz，磁芯损耗只降了 3% 左右，几乎是一条水平线。

绕组损耗走另一条路。电流密度固定，绕组体积同样按 f 的 1.5 次方降，直流部分跟着降；邻近效应因子按 f 的 1.5 次方涨，两项恰好抵掉。参考设计里这个因子是 1.71，从 86 kHz 到 210 kHz，单丝直径 100 微米始终小于趋肤深度，因子变化有限，绕组损耗也基本停住。

趋肤深度可以自己核一遍。铜在 86 kHz 下是 66.1 除以频率平方根，约 225 微米；到 210 kHz 降到 144 微米。100 微米的单丝两头都在深度以内，只是层间邻近效应随频率变强，把 1.71 这个比值又抬了一点。抬多少，抵掉多少，正好落在那一项的对消里。

两项都停住，总损耗就停住。

图 1 总损耗与温升随开关频率的走向（依据原文第 III-D 节与表 V 绘制）

体积缩一档，冷却面积也缩一档

真正变化的是散热。变压器的冷却面积与面积积同阶，也就与频率成反比。频率乘 2.44 倍，体积降到 26%，冷却面积降到 41%。

温升由损耗除以冷却面积再乘热阻系数得到：

ΔT = P / (h × A)

式中 P 为总损耗，h 为对流换热系数，A 为冷却面积。分子几乎不动，分母掉到 0.41，温升就要乘 2.44。参考设计的 41 K 变成 100 K。

100 K 正好是论文设定的允许温升上限。环境温度按 40 °C 算，结温到 140 °C，磁芯和绝缘都到边了。所以 210 kHz 不是一个可以自由选择的频率，它是这条热账算出来的天花板。

图 2 频率、体积、冷却面积与热流密度的传递关系（依据原文第 III-D 节式 37、38 绘制）

卡住的不是磁通也不是电流

有人会怀疑是磁饱和卡住了最优点。数据不支持这个判断。

最优点上磁通密度 84 mT，饱和点 300 mT，余量 3.6 倍。电流密度 2.9 A/mm²，允许上限 8.0 A/mm²，余量 2.8 倍。频率 86 kHz，磁芯上限 700 kHz，余量 8.1 倍。三个约束都离得很远。

论文对此的表述很直接：最优点落在设计空间内部，不是被边界推上去的。把三个电气约束都放松，最优点还是不动，因为定住它的是损耗和散热这两个量的相对斜率。

这也解释了一个常见误判。看到器件能开 700 kHz，就以为变压器也能跟着做小。器件能开多快，取决于开关损耗和驱动；变压器能做多小，取决于损耗密度涨得多快、表面积缩得多快。两件事的自变量不同。

这套账算到这里，容易得出一个过强的判断：频率必须精确落在 86 kHz。论文的数据不支持这种精确性。

作者把设计空间和性能空间做了映射，结论是最优点附近的区域很宽，对应的性能差异很窄。频率偏离最优值、匝数取整、磁芯尺寸落到标准型号，这些操作带来的效率变化都在百分之一量级。参考设计的最优匝数是 10.5，一个非整数，实际只能取 10 或 11，损耗几乎不可分辨。

论文给了一组对照：归一化频率比取 ξ 等于 2 时，效率只差 11%；ξ 等于 3 时，差 26%。这里的百分比是相对损耗占比的放大，不是绝对效率点。换算回去，仍落在工程可接受的范围。

材料的替换也在同一个平台上。论文比较了低性能铁氧体 TDK N27、高性能铁氧体 N97 和纳米晶三种磁芯。纳米晶的饱和磁通高得多，同体积能撑更大的伏秒积，但高频段损耗密度上升更快，指数更大，最优点会向左移。三条曲线的最优点位置不同，性能峰值却接近。

这个平台性质对选型有实际意义。既然最优点是一块平地，就不必为了逼近日计算出来的 86 kHz 去定制磁芯，也不必为了 2% 的效率差更换材料。真正需要卡死的只有一件事：温升不能越过 100 K。

41 K 的余量只够 2.4 倍频率

从 41 K 到 100 K，余量是 2.44 倍。这是给定功率下能拿来换体积的全部空间。

换来的体积收益是 1 减去 0.26，降了 74%。换算成功率密度，从 20 kW/L 提到 76 kW/L。数字看着漂亮，代价是把温升余量全部用光，一点不剩。

再往上就没有余地了。频率继续提，温升越过 100 K，磁芯损耗随温度上升进一步恶化，绕组绝缘加速老化，这条曲线会拐得更陡。

工程上真正在做的是另一件事：把冷却方式从自然对流换成强制风冷或液冷，让 h 上去，把 2.44 倍的余量重新拉开。论文的热模型里，对流系数是用 3 m/s 风速拟合的，这个前提一旦变化，整条温升曲线的斜率就变了。

功率密度要从散热侧买

这里有一个和直觉相反的结论。同一篇论文在分析缩放关系时发现，功率等级越高的中频变压器，效率本身越高，但越难散热。损耗占比随功率上升而下降，冷却面积却按功率的 0.67 次方涨，追不上。

也就是说，把变压器做大，效率账会变好，热账会变差。把变压器做小，热账先崩。

所以 86 kHz 这个数字不该当成一个需要突破的限制。它是给定散热条件下的平衡点。想绕过它，路径不在器件，在热设计：把热量从磁芯和绕组里更快地拿出来，让同样的 41 K 对应更大的损耗，最优点自然会往右移。

一句话，中频变压器的频率上限不是开关器件给的，是散热面积给的。

内容来源：CPSS Transactions on Power Electronics and Applications（开放获取）

原文标题：Medium-Frequency Transformer Scaling Laws: Derivation, Verification, and Critical Analysis

作者：Thomas Guillod，Johann Walter Kolar（苏黎世联邦理工学院电力电子系统实验室）

DOI：10.24295/CPSSTPEA.2020.00003

配图说明：两张图均为自行绘制，为原理示意，非原文原图复制。

改动声明：本文为对开放获取文献的技术编译与解读，标题、行文与配图为原创。

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